Leonardo Fibonacci
La Successione di Fibonacci
Quante coppie di conigli discendono in un anno da una coppia?
La successione di Fibonacci
Leonardo Fibonacci, matematico italiano, dopo avere assimilato durante numerosi viaggi le conoscenze matematiche del mondo arabo, pubblicò intorno al 1202 la sua opera fondamentale, il Liber abaci, con cui si propose di diffondere nel mondo scientifico occidentale , il sistema decimale ad oggi in uso in Europa
La Successione di Fibonacci
Quante coppie di conigli discendono in un anno da una coppia?
«Un tale mise una coppia di conigli in un luogo completamente circondato da un muro, per scoprire quante coppie di conigli discendessero da questa in un anno: per natura le coppie di conigli generano ogni mese un'altra coppia e cominciano a procreare a partire dal secondo mese dalla nascita.»
Liber Abaci
Fibonacci risolse questo problema con una successione che prevedeva che le coppie generate ogni mese fossero la somma di quelle generate nei due mesi precedenti:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377
In particolare, la successione di Fibonacci è una successione di numeri interi definiti dalla coppia 1,1 in cui l’elemento successivo è dato dalla somma dei due precedenti.
Successioni di questo tipo, in cui ogni termine è definito come una certa funzione dei termini precedenti, sono chiamate successioni ricorrenti o ricorsive.
Successioni di questo tipo, in cui ogni termine è definito come una certa funzione dei termini precedenti, sono chiamate successioni ricorrenti o ricorsive.
an = an-1 + an-2 con n > 1
Fn = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393...
Proprietà della Successione
I numeri di Fibonacci godono di una stupefacente gamma di proprietà di
grande interesse:
1) Qualsiasi numero della successione e quello che lo precede sono primi tra loro, ossia non hanno fattori primi comuni.
2) Dividendo qualunque numero per il secondo che lo precede nella sequenza, si ottiene sempre 2 come risultato e come resto il numero immediatamente precedente il divisore.
an / an-2 = 2 con il resto di an-3
§
3) La somma di tutti i numeri di Fibonacci fino ad un punto scelto, più 1, è uguale al numero di Fibonacci situato due posti avanti.
a1+ a2 + a3 + 1 = a5 ovvero 1 + 1 + 2 + 1= 5
4) La somma dei quadrati dei numeri della successione, fino ad un punto qualsiasi, è uguale all’ultimo numero considerato moltiplicato per il successivo
Certamente la proprietà principale e più utile nelle scienze è quella per cui il rapporto Fn / Fn-1, al tendere di n all’infinito, tende al numero algebrico irrazionale chiamato numero di Fidia e definito cn la lettera greca Φ.
